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• 1. 서 론
• 2. 특성함수 기반의 표면반사율 모델
• 3. 3 차원 기반의 특성함수 모델
• 4. 확장된 특성 함수 모델
• 5. 실험 및 결과
• 6. 결 론
• Acknowledgement

1. 서 론

일반적인 영상 렌더링에서 물체를 표현하기 위해서는 빛과 물체의 분광 특성에 대한 정보를 획득한 후 빛과 표면의 상호 작용을 모델링한다. 이때 빛과 표면에 대한 각각의 스펙트럼 정보가 정확하다면 그 결과 영상은 정확히 표현된다. 한편 인간은 빛에 대한 물체의 영향을 제거할 수 있는 특성이 있다. 이러한 인간시각 특성을 기반으로 다른 조명하에서의 영상을 표현하기 원할 때 빛과 표면에 대한 스펙트럼 정보가 필요하다. 

색을 표현하기 위한 기존의 접근 방법은 빛 모델^[1,2], 표면 반사율 모델^[3-6], 인간 인지 모델^[7],[8] 등을 개발하는 것을 포함하여 스펙트럴정보를 모델링하는 것이다. 스펙트럼은 많은 차원을 포함하고 있기 때문에 그 정보를 저장하거나 색을 표현하는데 모든 스펙트럼 정보를 이용하는 것은 현실적으로 불가능하다. 따라서 표면 반사율 모델과 같이 몇 개의 기저함수와 그에 해당하는 가중치를 이용하여 전체 스펙트럼을 표현하는 방법을 사용한다^[2,3,9]. 본 논문에서 사용되는 표면 반사율 모델도 이와 유사하게 표면에 대한 기저 함수를 선택하고 가중치를 통해서 표면 반사율을 모델링한다. 그러나 기존의 렌더링 방법은 단순히 RGB 3-채널을 이용한 표면과 표면 반사율의 분광 특성을 표현하는 것이기 때문에 실제 빛과 표면의 상호작용을 수학적인 연산으로 정확히 표현할 수 없다. 

기존 모델들은 사용된 기저함수의 수가 증가함에 따라 정확도는 비례하게 된다. 따라서 일반적으로는 3차원의 기저함수를 사용하지만 반드시 3차원을 사용할 필요는 없다. 기존 방법의 한 가지 측면은 기저함수의 수에 대한 함수로써 빛 혹은 표면 반사율을 선형 모델을 이용하여 얼마나 정확하게 표현할 수 있는가를 연구하는 것이다. 이전의 연구에서 8개 이상의 기저함수를 사용했을 때 표면반사율을 오차 이내로 표현할 수 있다는 것을 보여주었다. 즉 표면 혹은 자연 조명과 관련이 있는 스펙트럼 정보가 전형적인 렌더링에서 사용되는 수인 3개 이상의 벡터에 의해서 표현될 수 있다. 만약 렌더링의 결과가 아주 정확한 것이 요구되지 않는다면 우리는 낮은 차원의 모델을 이용하여 표면 반사율을 표현할 것이고 그에 따라 표면과 빛에 대한 정보를 획득할 것이다. 

그러나 N 차원의 벡터를 이용하여 빛과 표면을 표현할 수 있다고 하더라도 덧셈과 곱셈에 대한 전형적인 렌더링 연산은 물리적인 연산과 일치하지 않는다. 만약 빛 (ϵ₁, ⋯,ϵ_n)이 흡수되고 표면 (σ₁, ⋯,σ_n)에 의해서 방출되었다면 방출된 빛은 (ϵ₁σ₁, ⋯,ϵ_nσ_n)에 상응하는 분광 스펙트럼 분포를 가지지 않는다. 이것은 비록 특정한 광원과 표면이 선형 모델에 의해서 정확하게 표현되었다 할지라도 표면에서 흡수되어 방출된 생성된 이차 광원은 그 모델에서 정확한 표현을 할 수 없음을 의미한다. Figure 1은 이차 광원의 예를 보여 주고있다. 특정한 광원의 기저와 SRF₁이 다행스럽게도 같을지라도 SRF₂와 SRF₃의 기저함수가 SRF₁과 다르다면 광원이 SR₃에서 다시 방출된 빛은 (ϵ₁σ₁, ⋯,ϵ_nσ_n)로써 모델링할 수 없다.

Figure 1. Example of the effect of a secondary illuminant with three surface reflectance factors.

2. 특성함수 기반의 표면반사율 모델

임의의 조명하에서 획득된 칼라 자극을 알고 있을 때 칼라 항상성을 이용하여 수식적으로 물체의 표면 반사율을 추정할 수 있다. 이전의 연구는 선형^[3,4,6] 혹은 비선형^[9] 모델을 이용하여 오차를 최소화하는 방법을 연구하였다. 그러나 기존의 방법에서 기저는 자신의 모집단에서 추출되기 때문에 자신의 모집단에 편향적인 경향을 나타내게 된다. 또한 가상현실 구현에서 빛-표면 상호작용을 구현할 때 어려운 문제에 직면하게 된다^[10]. 따라서 본 논문에서는 특성함수를 기반으로 한 새로운 표면반사율 모델을 제안한다.

제안한 표면 반사율 모델은 특성함수라는 새로운 기저함수로 구성된다. 특성함수는 0 ~1 사이의 값을 가지는 함수로 구성된다. 특성함수는 λ∈(λ₁, λ₂)의 파장에서 1 의 값을 가지고 그렇지 않으면 0 이 된다. 기저로써 특성함수들은 파장이 중첩되지 않을 때 정확히 직교한다. 본 논문에서는 빛과 광원에 대해 동일한 기저를 사용한다. 이때 벡터의 덧셈과 곱셉에 대한 일반적인 렌더링 연산은 빛과 광원에 대한 물리적인 중첩 및 빛-광원 상호작용과 일치하는 것을 보이는 것은 어렵지 않다. 특성함수를 이용하여 만약 빛 (ϵ₁, ⋯,ϵ_n) 이 흡수되고 표면 (σ₁, ⋯,σ_n)에 의해서 방출되었다면, 방출된 빛은 정확히 스펙트럼 분광 분포가(ϵ₁σ₁, ⋯,ϵ_nσ_n)으로 일치할 것이다. 빛-표면 상호작용은 칼라 코드의 성분별 곱으로 처리할 수 있다. 스칼라의 덧셈과 곱셈은 벡터공간에서 직교성이 유지되는 한 적용될 것이다.

일반적으로 기저를 이용한 표면 모델링은 다음과 같다. 

여기서 μ_i는 파장 함수에 대한 주성분 (혹은 기저함수) 이고, a_i는 주성분에 대한 가중치를 나타낸다. Figure 2는 기존의 주성분과 제안한 기저함수의 차이를 보여주고 있다. 두 Figure 모두 각 기저에 대한 직교성을 유지하고 있으나, Figure 2(a)는 음수의 크기를 가지고 있고 Figure 2(b)는 양수만으로 구성된다. 또한 형태에서 다른 특징을 나타내고 있다. Figure 2(a)는 파장에 연속적인 곡선의 모양이나, Figure 2(b)는 파장에 따라 계단 형태의 모양이며 불연속적인 특징을 보여준다. 특히 특성함수 모델은 특정한 파장에서 0의 값을 가질 수 있기 때문에 전체 파장 영역을 다 포함하지 않는 것이 특징이다. 

Figure 2. Examples of basis function with n-parameters; (a)conventional basis function and (b)characteristic function.^[11]

파장에 따른 특성 함수 모델은 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다. 

이 함수는 각 좌표축이 직교하고 중첩이 되지 않는 특성 때문에 기존의 기저함수와 달리 사칙연산의 적용이 가능하다. 

3. 3 차원 기반의 특성함수 모델

표면 반사율의 파장에 대한 변화는 색을 결정하는 많은 정보를 포함하고 있다. 직관적으로 짧은 파장에서 가장 큰 변화가 발생했다면 이것은 파란색이거나 혹은 그의 보색일 가능성이 크다. 마찬가지로 큰 파장에서의 변화는 붉은색이거나 혹은 그의 보색일 것이다. 만약 전 파장에 걸쳐 커다란 변화가 없거나 아무런 변화가 없다면 그 파장은 무채색 계통의 색일 것이다. 이처럼 파장에서 변화는 색을 결정하는 중요한 요인이다. 

본 논문에서는 3 차원 기반의 특성 함수 모델을 결정하기 위해 파장의 두 변곡점을 결정하고 이를 통해 기저 함수를 결정하는 최소-최대 법칙을 이용한다. 이 방법을 적용하기에 앞서 먼저 표면의 반사율은 모든 파장에서 연속이고 미분 가능하다는 가정을 한다. 다행스럽게도 먼셀 칼라 북과 같은 샘플들은 위와 같은 조건을 만족시킨다. 최소-최대 법칙의 개념은 전체 파장에서 가장 큰 변화율을 보인 지점을 경계 파장으로 결정하는 것이다. 이를 위해 파장을 미분하여 최대값 혹은 최소값을 나타내는 파장을 결정하고 전체 표면 반사율에 대하여 가장 빈도가 높은 두 지점을 경계파장으로 결정하고 결정된 경계를 기준으로 세 벡터에 대하여 가중치를 부여하면 최종적으로 3차원 특성함수에 기반으로 표면 반사율을 모델링 할 수 있다. 

Figure 3은 먼셀 칼라 북을 이용하여 최소-최대 법칙을 적용시킨 후 히스토그램 특성을 표현한 것이다. 전체 1485 개의 먼셀 샘플들 중에서 조사한 결과 480nm와 550nm에서 가장 많은 변화가 측정되었다. Figure 4는 결정된 두 파장에 따라 생성된 기저함수를 기반으로 생성된 반사율과 원본과의 색 오차의 분포를 나타내고 있다. 색 오차가 최소인 두 파장은 490nm와 570nm으로 나타났다. 

Figure 3. Histogram of two wavelengths.

Figure 4. Distribution of color difference according to first two wavelengths in Munsell Color Chips.

4. 확장된 특성 함수 모델

최소-최대 법칙을 이용하여 3차원 특성 함수에 기반한 표면 반사율 모델을 완성하였다. 그러나 그에 따란 복원 결과 평균 오차는 5이상이라는 것을 Figure 4에서 확인할 수 있다. 따라서 이 오차를 감소시키기 위해서 특성함수의 기저를 3차원에서 다차원으로 확장할 필요성이 있다. 이를 위해서는 표면의 반사율 구간별 벡터의 특징을 조사한다. 즉 3개의 부분 파장 중 어떠한 파장을 다시 나누는 것이 최선의 선택인지 결정해야 한다. Figure 5는 부분 벡터로써 표면 반사율 데이터를 관찰한 예이다. Figure 5(a)는 두 개의 변곡점을 가지는 곡선 형태의 벡터이고, 5(b)는 한 개의 변곡점을 가지는 경우이다. 5(c)는 일정한 기울기를 가지고 있어서 변곡점은 없는 경우이며, 5(d)는 기울기를 가지고 있으나, 파장이 아주 짧은 경우이고 마지막으로 5(e)는 파장의 변화가 없는 경우이다. 위 벡터 예를 이용하여 각 경우를 비교함으로써 나뉘어져야할 벡터를 결정한다. 5(a)와 5(c)는 전체적으로 유사한 기울기는 가지지만 두 벡터 중 하나를 선택해야 한다면 바로 5(a)이다. 그것은 5(a)에 비해 5(a)의 표준편차가 더 크기 때문이다. 다음으로 고려해야 할 사항은 주성분의 경향성이다. 5(c)와 5(e)에서 보듯이 주성분의 기울기가 가파를수록 그 벡터는 나뉘어져야 한다. 또한 주성분의 특이값이 가장 큰 벡터를 기준으로 나누어야 한다. 마지막으로 벡터의 크기이다. 5(c)와 5(d)는 동일한 주성분의 기울기를 나타내지만 나누어져야할 벡터는 크기가 더 큰 5(c)이다. 이상의 4 가지 목적 함수를 이용하여 본 논문에서는 벡터를 확장시키기 위한 확장지수 p를 다음과 같이 정의한다.

Figure 5. Sub-vector examples of surface reflectance.

여기에서 x는 부분 벡터, w₁는 최대 특이값, σ는 표준편차, tan(θ_w1)은 주성분의 기울기,  ∥max(x)－min(x)∥는 벡터의 최대 및 최소 크기의 차이다. 

5. 실험 및 결과

본 논문은 특성함수를 이용하여 기저함수를 만들고 그 기저 함수를 다차원으로 확장하기 위하여 부분 벡터의 네 가지 특성으로 정의하였다. 이때 사용된 특성은 벡터의 표준편자 (ST), 특이값(SV), 주성분의 기울기(SL), 벡터의 최대-최소차의 크기(AM)로써 이를 이용하여 각 벡터에 대하여 확장지수를 계산하고 가장 높은 값을 갖는 벡터를 다음 차원으로 확장시키기 위해 나눈다. 확장지수에 의해서 선택된 벡터들은 최소 제곱 평균 오차(Least square mean error)를 이용하여 최적의 파장을 결정할 수 있다. 실험은 두 가지로 구성하였다. 한 가지는 각 하나의 특성별로 오차를 관찰하는 것이고, 다른 하나는 네 가지 특성중 하나의 요소를 제거하는 방법이다. 두 번째 방법은 각각의 특성에 대한 상호 작용을 확인하기 위함이다. 두 실험에서 전체적으로 오차를 줄이는 것은 하나의 특성을 이용하는 것으로 확인되었다. Figure 6은 먼셀 칼라 북의 표면반사율 모델링 결과의 색 오차를 확장된 특성함수에 따라 표현한 것이다. Figure 6(a)와 6(b) 할 수 있다. 이를 토대로 제안한 표면 반사율 모델을 이용하여 먼셀 칼라 샘플을 복원한 후 색 오차를 Table 1과 같이 분석하였다. 5 차원 이에서 볼 때 네 가지 특성 중 특이값(SV)이 색오차를 가장 많이 줄이는 요소라는 것을 확인상을 사용한다 할지라도 전체 평균은 색차는 3 이하로 감소하고 약 50%이하의 샘플이 그에 해당한다는 것을 확인할 수 있다. 또한 8 차원 이상의 모델을 사용한다면 오차는 급격히 감소하고 및 색차 6 이상의 오차 발생 빈도도 줄어듦을 확인할 수 있다. Figure 7은 4 차원의 채널을 이용하여 기존의 방법^[9]과 제안한 방법의 색 표현력을 비교한 결과이다. OLED 디스플레이에서 비교할 때, 일부 패치에 대해서는 확연한 차이가 있음을 확인할 수 있다.

Figure 6. Mean of delta Eab and MSE according to LMSE points by multiple factors

Table 1. Error Distribution for N-Dimensional Reconstructions.

Figure 7. Comparison of color in OLED displays; (a) test image and (b) 15'' OLED display.

6. 결 론

본 논문은 표면 반사율의 선형 모델에 대한 새로운 기저함수를 결정하는 방법을 제안한다. 기존의 방법으로 생성된 기저함수가 덧셈과 곱셈으로 빛-표면 상호작용을 물리적으로 표현하는데 한계가 있는데 반해, 제안한 기저함수는 기저함수 사이의 직교성을 유지하면서도 파장의 중첩이 없기 때문에 덧셈과 곱셈 연산이 가능하다. 또한 벡터의 특성을 이용하여 3차원의 기저함수를 다 차원으로 확장시키기 위해 확장지수를 계산하였으며 이에 따라 확장된 기저함수로 복원된 표면 반사율의 색 오차는 감소됨을 확인하였다. 추후 연구 계획으로는 2차 광원효과에 대한 보다 구체적인 실험을 통해 제안한 기저함수로 복잡한 조명의 빛 반사 현상을 보다 쉽게 구현하기 위한 연구를 진행할 것이다. 

Acknowledgement

이 논문은 2012년도 창원대학교 연구비지원으로 수행된 연구임